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34个小学奥数必须掌握的知识点小学数学高分秘籍

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1、和差倍问题：

和差问题

和倍问题

差倍问题

已知条件

几个数的和与差

几个数的和与倍数

几个数的差与倍数

公式适用范围

已知两个数的和，差，倍数关系

公式

①(和－差)÷2=较小数

较小数＋差=较大数

和－较小数=较大数

②(和＋差)÷2=较大数

较大数－差=较小数

和－较大数=较小数

和÷(倍数＋1)=小数

小数×倍数=大数

和－小数=大数

差÷(倍数-1)=小数

小数×倍数=大数

小数＋差=大数

关键问题

求出同一条件下的

和与差

和与倍数

差与倍数

2、年龄问题基本特征：

①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

3、归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键问题：

根据题目中的条件确定并求出单一量；

4、植树问题：

基本类型

在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树

在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树

在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树

封闭曲线上植树

基本公式

棵数=段数＋1

棵距×段数=总长

棵数=段数－1

棵距×段数=总长

棵数=段数

棵距×段数=总长

关键问题

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

5、鸡兔同笼问题：

基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。

6、盈亏问题：

基本概念：

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。

基本思路：

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。

基本题型：

①一次有余数，另一次不足；

基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

③当两次都不足；

基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：

确定对象总量和总的组数。

7、牛吃草问题：

基本思路：

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：

确定两个不变的量。

基本公式：

生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

8、周期循环与数表规律：

周期现象：

事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：

确定循环周期。

闰 年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；

平 年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9、平均数：

基本公式：

①平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

基本算法：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②

10、抽屉原理：

抽屉原则一：

如果把（n 1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

①4=4 0 0 ②4=3 1 0 ③4=2 2 0 ④4=2 1 1

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：

如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

①k=[n/m ] 1个物体：当n不能被m整除时。

②k=n/m个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：

[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

关键问题：

构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。

11、定义新运算：

基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12、数列求和：

等差数列：

在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：

首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；

项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；

数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．

基本思路：

等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

基本公式：

通项公式：an = a1 （n－1）d；

通项＝首项＋（项数一1)×公差；

数列和公式：sn,= (a1 an)×n÷2；

数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

项数公式：n= (an a1)÷d＋1；

项数=（末项-首项）÷公差＋1；

公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；

公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

关键问题：

确定已知量和未知量，确定使用的公式；

13、二进制及其应用：

十进制：

用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200 30 4=2×102 3×10 4。

=An×10n-1 An-1×10n-2 An-2×10n-3 An-3×10n-4 An-4×10n-5 An-6×10n-7 …… A3×102 A2×101 A1×100

注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）

二进制：

用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。

（2）= An×2n-1 An-1×2n-2 An-2×2n-3 An-3×2n-4 An-4×2n-5 An-6×2n-7

…… A3×22 A2×21 A1×20

注意：An不是0就是1。

十进制化成二进制：

①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。

②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。

14、加法乘法原理和计数：

加法原理：

如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1 m2....... mn种不同的方法。

关键问题：

确定工作的分类方法。

基本特征：

每一种方法都可完成任务。

乘法原理：

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的方法。

关键问题：

确定工作的完成步骤。

基本特征：

每一步只能完成任务的一部分。

直线：

一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

直线特点：

没有端点，没有长度。

线段：

直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

线段特点：

有两个端点，有长度。

射线：

把直线的一端无限延长。

射线特点：

只有一个端点；没有长度。

①数线段规律：总数＝1 2 3 … （点数一1）；

②数角规律=1 2 3 … （射线数一1）；

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：个数=1×1 2×2 3×3 … 行数×列数

15、质数与合数：

质数：

一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。

合数：

一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

质因数：

如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

分解质因数：

把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

分解质因数的标准表示形式：

N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1<a2<a3<……<an。< span=""></a2<a3<……<an。<>

求约数个数的公式：

P=(r1 1)×(r2 1)×(r3 1)×……×(rn 1)

互质数：

如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

16、约数与倍数：

约数和倍数：

若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

公约数：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：

1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；

18的约数有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公约数有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；

求最大公约数基本方法：

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

公倍数：

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

12的倍数有：12、24、36、48……；

18的倍数有：18、36、54、72……；

那么12和18的公倍数有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法

17、数的整除：

基本概念和符号：

1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；

整除判断方法：

1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

整除的性质：

1.如果a、b能被c整除，那么（a b）与（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

18、余数及其应用：

基本概念：

对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。< span=""></r<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。<>

余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。

③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

19、余数、同余与周期：

同余的定义：

①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

同余的性质：

①自身性：a≡a(mod m)；

②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；

③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；

④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a c≡b d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；

⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；

⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；

关于乘方的预备知识：

①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b

②若B=c d则MB=Mc d=Mc×Md

被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；

②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

费尔马小定理：

如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

20、分数与百分数的应用：

基本概念与性质：

分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

常用方法：

①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。

②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。

⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

21、分数大小的比较：

基本方法：

①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。

②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。

③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。

⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）

⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。

⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

22、分数拆分：

将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：

23、完全平方数：

完全平方数特征：

1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。

4.约数个数为奇数；反之成立。

5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

平方差公式：

X2-Y2=（X-Y）（X Y）

完全平方和公式：

（X Y）2=X2 2XY Y2

完全平方差公式：

（X-Y）2=X2-2XY Y2

24、比和比例：

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。

比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。

比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。

反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。

比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

25、综合行程：

基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速 水速）×顺水时间

逆水行程=（船速-水速）×逆水时间

顺水速度=船速 水速

逆水速度=船速-水速

静水速度=（顺水速度 逆水速度）÷2

水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

主要方法：画线段图法

基本题型：

已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。

26、工程问题：

基本公式：

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率=工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率

基本思路：

①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；

②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.

关键问题：

确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

27、逻辑推理：

条件分析—假设法：

假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。

条件分析—列表法：

当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。

条件分析—图表法：

当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。

逻辑计算：

在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。

简单归纳与推理：

根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。

28、几何面积：

基本思路：

在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。

常用方法：

1.连辅助线方法

2.利用等底等高的两个三角形面积相等。

3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。

4.利用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。

29、时钟问题—快慢：

基本思路：

1、按照行程问题中的思维方法解题；

2、不同的表当成速度不同的运动物体；

3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；

4、时间是标准表所经过的时间；

5、合理利用行程问题中的比例关系；

30、时钟问题—钟面追及：

基本思路：

封闭曲线上的追及问题。

关键问题：

①确定分针与时针的初始位置；

②确定分针与时针的路程差；

基本方法：

①分格方法：

时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。

②度数方法：

从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转 360/60度，即6°，时针每分钟转360/12X60度，即1/2度。

31、浓度与配比：

经验总结：

在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。

溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。

溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。

基本公式：

溶液重量=溶质重量 溶剂重量；

溶质重量=溶液重量×浓度；

浓度= 溶质/溶液×100%=溶质/（溶剂 溶质）×100%

经验总结：

在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

32、经济问题：

利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%；

卖价=成本×（1 利润的百分数）；

成本=卖价÷（1 利润的百分数）；

商品的定价按照期望的利润来确定；

定价=成本×（1 期望利润的百分数）；

本金：储蓄的金额；

利率：利息和本金的比；

利息=本金×利率×期数；

含税价格=不含税价格×（1 增值税税率）；

33、不定方程：

一次不定方程：

含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；

常规方法：观察法、试验法、枚举法；

多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

多元不定方程解法：

根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；

涉及知识点：

列方程、数的整除、大小比较；

解不定方程的步骤：

1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；

技巧总结：

A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；

B、消元技巧：消掉范围大的未知数；

34、循环小数：

把循环小数的小数部分化成分数的规则：

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

分数转化成循环小数的判断方法：

①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。

②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。

水浒最神秘一本秘笈？暗藏梁山排名秘密，只有宋江吴用能够看懂！

文：都头郓哥（作者原创授权）

《水浒传》是一本充满神话色彩的古典小说，108条好汉都是罡煞星宿转世，因此遭际及经历自然非常人可比。梁山上曾竖起“替天行道”的大旗，代表梁山众人是替天行事，是正道合理的。那么代表梁山众人为正道的情节中，九天玄女在还道村授宋江三卷天书的情节当是最强有力的证明。书中九天玄女在授天书时，曾对宋江说道：【此三卷之书可以善观熟视。只可与天机星同观，其他皆不可见。功成之后，便可焚之，勿留于世。所嘱之言，汝当记取。】可见天书只有宋江和吴用两个人可以看，那么这本神秘的天书究竟是什么内容，经常被读者指出排座次前已经出现天机星吴用的逻辑错误又该如何解释？我们不妨通过原文来看一下。

一、《水浒传》中天书出现的情节

以容与堂百回本《水浒传》为例，在第四十二回九天玄女授天书与宋江后，紧接着在第四十三回，即提到宋江与吴用观看天书。【这里宋江与晁盖在寨中每日筵席，饮酒快乐，与吴学究看习天书，不在话下。】之后一打祝家庄时，宋江又一次想起天书之事，【宋江勒马看时，庄上不见刀人马，心中疑忌，猛省道；“我的不是了；天书上明明戒说，‘临敌休急暴。”是我一时见不到，只要救两个兄弟，以此连夜进兵。】高唐州与高廉斗法时，宋江第一次运用了天书中的法术，【宋江，吴用听了大惊。与军师道：“是何神术，如此利害？”吴学究道：“想是妖法。若能回风返火，便可破敌。”宋江听罢，打开天书看时，第三卷上有‘回风返火破阵’之法。宋江大喜，用心记了咒语并密诀，整点人马，五更造饭吃了，摇旗擂鼓，杀进城下来。】其后宋江引兵救卢俊义，受阻于大名府时，又一次看天书希望寻求破敌之法，【宋江见攻打子不破，心中纳闷：离山已久，不见输赢。是夜在中军帐里闷坐，默上灯烛，取出玄女天书，正看之间，忽小校报说：“军师来见”。】梁山受招安后，于征辽之前，众人曾赴五台山参禅，天书再一次出现。【宋江取出罗真人那八句法语，递与吴用看详，不晓其意，众人反覆看了，亦不省的。公孙胜道：“兄长，此乃天机玄语，不可泄漏。收取过了，终身受用，休得只顾猜疑。师父法语，过後方知。”宋江遂从其说，藏於天书之内。】宋军受阻于浑天阵时，宋江梦遇九天玄女，玄女重提传授天书之事，【玄女娘娘与宋江曰：“吾传天书与汝，不觉又早数年矣！汝能忠义坚守，未尝少怠。今宋天子令汝破辽，胜负如何？”】天书最后一次出现是在南征方腊时，宋军兵临睦州城下，方腊手下包道乙施放妖术，宋江命樊瑞作法迎敌，并靠天书上的咒语获胜。【南军队里，荡起昏邓邓黑云来。宋江见了，便唤混世魔王樊瑞来看，急令作法，并自念天书上回风破暗的密咒秘诀。只见关胜头盔上，早卷起一道白云，白云之中，也显出一尊神将，红发青脸，碧眼撩牙，骑一条乌龙，手执铁锤，去战郑魔君头上那尊金甲神人，下面两军呐喊。】

综上可知，通过《水浒传》中关于天书的描写，我们主要得到以下几点信息：

1、天书为九天玄女传授宋江。

2、宋江时刻将天书带在身边。

3、天书只有宋江、吴用二人能看，但是众人都知道天书的事。

4、天书中有记载关于行军打仗注意事项及咒语、秘诀之类的信息。

至此，我们对天书已经有了一个大致的了解，所谓天书，其实是本服务于行军打仗的兵书，这也和历史记载中九天玄女曾授黄帝兵信神符的记载相符。那么九天玄女告诫宋江天书只能和天机星共观之语，与排座次前宋江已经知道天机星是吴用的逻辑错误又该如何解释呢？一种解释是此句话是作者写作或刻印时的疏漏，比如后世属于简本系统的刘兴我本就没有“只可与天机星同观，其他皆不可见”这句话。笔者以为，除此之外，还有一种解释。《水浒传》在排座次之前，其实还有两位好汉的星号也提前出现，那就是公孙胜和李逵二人，在梁山众人于高唐州失利，戴宗、李逵奉命去二仙山向罗真人、公孙胜求援时，罗真人曾在戏弄李逵后，对戴宗说道：【贫道己知这人是上界天杀星之数，为是下土众生，作业太重，故罚他下来杀戮。吾亦安肯逆天，坏了此人？只是磨他一会，我叫取来还你。】之后，在临下山时，罗真人又嘱咐公孙胜道：【弟子，你往日学的法术与高廉一般。吾今特授与汝‘五雷天心正法’，依此而行。可救宋江，保国安民，替天行道，你的老母，我自使人早晚看视，勿得忧念。汝本上应天闲星数，以此暂容汝去遭。】这说明像罗真人这样的世外高人是知道宋江等人是天星下界的，而作为罗真人的首席高徒，朝夕相伴，公孙胜不会一点耳闻也没有。宋江上山时，公孙胜早已在梁山上，又是机密头领之一，宋江私下求教于公孙胜也不无可能。

二、《大宋宣和遗事》中的天书

作为《水浒传》早期原始资料的《大宋宣和遗事》，当是关于水浒天书最早的记载，书中写道：【宋江见官兵已退，走出庙来，拜谢玄女娘娘；则见香案上一声响亮，打一看时，有一卷文书在上。宋江才展开了，认得是个天书；又写着三十六个姓名，又题着四句道，诗曰：‘破国因山木，兵刀用水工；一市充将领，海内耸威风。’宋江读了，口中不说，心下思量：‘这四句分明是说了我里姓名。’又把开天书一卷，仔细观觑，见有三十六将的姓名。那三十六人道个甚底？智多星吴加亮……铁天王晁盖。宋江看了人名，未后有一行字写道：‘天书付天罡院三十六员猛将，使呼保义宋江为帅，广行忠义，殄灭奸邪。’】

在此书中，天书为一卷，且内容主要是记载宋江的统帅地位，以及以吴加亮为首的部下三十六人姓名和排序，类似于一本花名册，并未见兵书的影子。

三、《荡寇志》中的天书

《荡寇志》作为《水浒传》的另类续书，因为丑化梁山好汉，因此一直以来褒贬不一。而该书与原著相悖的诸多情节中，就有石碣造假的情节，但另一方面，作者却又承认天书的真实性，且对天书做了更为细化的补充。该书第九十四回“司天台蔡太师失宠，魏河渡宋公明折兵”写道：【气得个李逵暴躁如雷，道：“为何不渡过河去，怕他甚鸟！”宋江道：“兄弟也说得是。”便传令搭浮桥渡河。吴用再三苦劝道：“哥哥，你忘了天书上明明写着：临敌休急暴，对阵莫匆忙；急暴难取胜，匆忙多败亡。古来兵家犯此取败者，不知其数，兄长岂可蹈其覆辙。请暂息一时之怒，从长计较。吴某不才，管取一条计胜他。”】

将《水浒传》中出现的天书上的一句‘临敌休急暴’扩展为四句话，且颇有道理，不得不说《荡寇志》之所以流传到现在，其文学水平比较高是很重要的一个原因。

可以看出，天书在水浒故事的演变过程中，因为情节需要而被逐渐的细化和拓展，内涵愈见丰富，这也是《水浒传》非一时一人之作，而是在长时间的流传过程中逐渐完善并最终成书的一个明证。

四川麻将血战到底最新规则，烂熟于心才能稳操胜券，麻友们来看看

各位麻友，大家好！我是麻哥，一个擅长打麻将的奥数老师，今天给大家讲讲川麻规则！

一、概述

四川麻将采用四川地区流行的麻将打法，尤其是成都及周边流行的打法。核心是打缺门，刮风下雨，成都计番规则，流局查叫查花猪。同时还加入了定缺、自摸加翻的玩法，增加了游戏乐趣！

在麻将牌中去掉了“中，发，白”的字牌，去掉了“东，南，西，北”的风牌。只剩下筒，条，万，三色牌一共108张。麻将的打法按照当前流行的十三张打法。

二、开局

掷一次色子，按照点数大小确定庄家，大为庄；庄家再掷一次色子，确定抓牌墩数，与武汉麻将相同。

每局庄家为上一局第一个胡牌的玩家，如上一局有玩家一炮双响，则放炮玩家为本局庄家。

三、 麻将规则

成都麻将规定，做牌的时候，游戏玩家必需从筒，条，万的三色牌中任意打缺一门牌才能胡牌。

1、血战到底

必须缺门可胡，即胡牌时不能有三种花色的牌同时出现。同时，加入血战的功能。即一家胡牌以后停止,其余几家继续打牌,直到剩下最后一家没有胡牌的玩家或者摸完最后一张牌。

2、刮风下雨

在血战打法的基础上，加入刮风下雨的功能，也就是杠牌。刮风为明杠，下雨为暗杠。

刮风（明杠）：玩家手中有三张一样的牌，其它玩家打出了第四张一样的牌，玩家可以选择杠牌，这种叫做直杠，只收一家的筹码。或者是玩家手上已经碰了三张一样的牌，当玩家自己又摸起了第四张一样的牌，这时，玩家也可以选择杠牌。这种杠牌可以收桌面上其它所有还未胡牌的玩家的筹码。

下雨（暗杠）：玩家有四张一样的牌就可以拿出来进行下雨。这样的杠牌可以收桌面上其它所有还未胡牌的玩家的筹码。

3、有的现在还加入幺鸡仍作。即拿到手里幺鸡想它是啥就是啥,这个变数就更大。

四、打牌名词解释

1、打缺

在四川麻将的做牌规则里面，筒、条、万三种花色，必须打缺其中的一门花色，用剩下的两门花色来做牌。

2、碰牌

当玩家手中有两张一样的牌，由其他玩家打出了第三张一样的牌时，玩家可以选择碰牌。

3、杠牌

杠牌分为明杠和暗杠两种。明杠是玩家手中有三张一样的牌，当其他玩家打出了第四张一样的牌时，玩家可以选择杠牌。或者玩家已经碰了三张一样的牌时，玩家自己又摸到了第四张一样的牌，就可以选择杠牌了。暗杠是当玩家自己摸到了四张一样的牌时，此时玩家可以选择从手中把牌拿出来杠牌。

杠牌可随时进行，比如自己手上有三张一样的牌，别人打出第四张时，可先选择碰，待自己下叫或其他时候再杠牌。

4、下叫

玩家根据牌型的规则，做好牌以后，并差一张牌就可以胡牌时，此时，玩家的牌的状况就叫做下叫。

5、胡牌

当玩家的牌下叫以后，由其他玩家打出了一张牌，正好是玩家的叫牌，此时，玩家可以选择胡牌。或者由玩家自己摸到了需要的叫牌，也可以选择胡牌。玩家自己摸到的胡牌方式叫做自摸。

6、流局

流局是指当桌面上所有牌都被摸完后，若还有两个或两个以上的玩家没有糊牌，则此时游戏为流局。

游戏流局后，会有查卫生和查叫两种处理方式。

7、查卫生（查花猪）

查卫生是指当玩家在进入流局后，若手上的牌还有3种花色的话，将会被其他已经打缺的玩家进行查卫生。在牌打完后，手上还有3种花色的牌的玩家俗称"花猪"，所以查卫生也叫做查花猪。是花猪的玩家需要赔4番（×16倍）给其余所有不是花猪的玩家（包括已经糊牌的）。

若有两家或者三家为花猪，则每个花猪玩家都需要赔给不是花猪玩家4番金币。

8、查叫

在摸完最后一张牌后，如果有玩家还没有胡牌时，已下叫的一方对还没有下叫的一方进行查叫。

查叫是指当玩家在进入流局后，若手上的牌还没有下叫，将会被已经下叫的玩家进行查叫。被查的玩家将按其他已下叫的玩家手上的牌型来赔番数。

查叫方按照所做牌型番数的最大番数对被查叫方进行查叫。例如牌型：1筒99万。就是按暗七对的牌型计算，而不是基本胡。

9、退税

流局查叫时，未下叫者（包括花猪）将退回所有刮风下雨的所得。

以上就是今天文章的内容，下次我们讲血战到底的胡牌规则及计番规则！欢迎大家关注转发。

门入围第十三届中国舞蹈最高奖荷花奖舞剧终评

9月21日下午，第十三届中国舞蹈“荷花奖”舞剧入围终评结果正式发布，由西安演艺集团•西安歌舞剧院出品的原创剧目——舞剧《门》成功入围终评作品名单，这也是进入本届“荷花奖”舞剧终评的8部作品中，西北地区唯一入围的作品。

中国舞蹈荷花奖由中国文联、中国舞协主办，是中国专业舞蹈艺术最高成就的专家奖，也是在规范国家级文艺性评奖后，唯一保留的全国性舞蹈艺术专业奖项，其奖项权威性与中国电影金鸡奖、中国电视金鹰奖、中国戏剧梅花奖等属同一级别。作为舞蹈界的至高荣誉，“荷花奖”评奖活动汇聚来自全国舞蹈行业精英近年的优秀作品，历届评奖竞争都十分激烈。

能够从强者如云中，跻身“全国8强”，来自西安的舞剧《门》又有什么“舞”门秘笈？

在舞台之上铺展开唐长安108坊诗画传奇般的瑰丽卷轴——舞剧《门》以“门”为贯穿，以大唐长安为背景，通过九组故事，全方位展示了盛唐风华，及唐代各个阶层人物的不同命运。它将丰富的情感和深刻的思想浸透在舞台表达中，以小人物为切入点，引领观众回望别样的大唐盛世，触碰千年前的烟火气息。在舞台之上，实现了“推开一扇门，遇见一群人，长安里坊，世间百态”以及“关上是历史，打开是未来”的独特语境。

洞察大唐长安108坊的景象，需要推开一扇历史之门；了解千年岁月中凝聚不散的国人情思，需要推开一扇人情人性之门。《门》勾勒出一幅幅家国人情百转千回的动人画卷，让人回味。评论家胡安忍曾在观演后表示：“《门》怀着一种忧患意识、人文情怀，通过对唐代坊间人情世态的描写，让观众体会到爱情、亲情和友情带来的人生悲欢。对人生、命运、价值的关注及纯真情感的珍视，是该剧最珍贵的审美取向。”

记者从对西安歌舞剧院的创作采访中了解到，作为具有鲜明西安标识与西安烙印的原创舞剧，《门》在创作中，创新式的以现代视角解读唐代的大美，在舞台呈现中，巧妙采用空间转换，融合古典音乐与现代音乐，大胆使用天地排灯光效果，将轻盈灵动的舞蹈、美术、诗歌合为一体，让人间烟火与阳春白雪同在，令历史与现实在不动声色间完成着对话。用舞之魅、诗之味、艺之美勾勒出一幅幅生动唯美的“唐文化”侧影。用总导演易杰的话说，整部舞剧的亮点在于其简单而真实的质感，“用一种极简风格，展现一种润物细无声的美，一种如雪后初霁的美。”

门启听风来，丽色满人间。舞剧《门》自创排完成后，迄今已相继在西安人民剧院、陕西大剧院、西演LIVE•宝鸡大剧院等剧院演出，热度出圈。该剧同样在不断的演出中，汲取观众意见，精打细磨、提升改进，让舞美和服化道精益求精。西安歌舞剧院总经理赵鹏表示：“希望以《门》为代表，打造舞蹈舞台的西安文艺新名片，在创新中呈现历史文化风韵，让更多人以此感受西安历史的丰富与灿烂。”

在冲刺“荷花奖”的同时，记者今日同时了解到，眼下，舞剧《门》正在紧锣密鼓进行新一轮排练——这部诞生于西安的精品舞剧，即将登上国家大剧院这一国家级艺术殿堂，以长安所承载的厚重人文历史为依托，用轻盈极简的编创和现代创新语境，绽放古城文艺的新魅力。（西安报业全媒体记者 孙欢 实习生 袁艺函 图/ 西安歌舞剧院提供）

编辑：安之

社群如何运营，才能达到事半功倍的效果

随着互联网技术的发展和人们消费认知的提升，社群营销是产品营销渠道的重要渠道。打造好的社群营销，增加企业与客户的直接互通，并可以减少大量营销和管理成本。社群营销是在网络社区营销及社会化媒体营销基础上发展起来的用户连接及交流更为紧密的网络营销方式。网络社群营销的方式，主要通过连接、沟通等方式实现用户价值，营销方式人性化，不仅受用户欢迎，还可能成为继续传播者。建立和运营网络社群的条件包括：人力和资金、内容和服务、时间和耐心、产品及营销模式等。其运营模式和流程，与一般的SNS营销并无原则性差别，但对沟通和服务方面有更高的要求，而不是简单的通过社交网络实现“内容营销”。因此，社群运营至关重要。要做好社群营销，建议从以下几个方面入手。

社群如何运营，才能达到事半功倍的效果

一、明确定位：搞清建群动机

1、销售动机：销售产品，服务客户；

2、人际动机：建群是为了形成社交圈；

3、成长动机：用学习和分享提高自己；

4、品牌动机：打造自己的品牌；

5、吸引粉丝动机：为吸引更多精准用户；

6、代理动机：发展更多营销下线；

7、服务动机：为群友提供更多服务。

二、社群分类: 明确客户群体和定位

1、产品类社群；

2、同好类社群；

3、知识类社群；

4、资源类社群；

5、项目协作类社群；

6、混合类社群。

三、着手建群：组建运营团队，设置运营规则

1、群主：维护、管理、运营群的核心；

2、意见领袖：极有威信力的群内灵魂人物；

3、管理员：发布消息、维护群秩序的主力；

4、群规设定：有组织有规矩；

5、打造特色：设置微信群专有标签。

四、用心培养种子用户

1、关于种子用户；

2、名人效应：让有影响力的中间人物介入；

3、参与效应：开放用户参与度节点；

4、发起人法：借助特殊身份吸引更多人加入；

5、邀请机制：用邀请码吸引初始用户；

6、互动倾听：倾听用户的心声；

7、口碑传播：口口相传是做好产品的根基；

8、内测效应：下放用户特权。

五、用户数量裂变：真粉转化，以一抵十

1、好友引流：靠谱的好友都可能成为真粉；

2、种子引导：引导种子用户进行推广；

3、撰写文案：好的文案更吸引人；

4、免费效应：“免费送”是惯用招数；

5、内容为王：用优质内容挖掘真爱粉；

6、事件影响：打造传播热点；

7、情感关联：用感情“黏住”真粉；

8、马斯洛需求层次理论：抓住人们不用层次的需求。

六、社群活跃度: 吸引持续关注和互动

1、社群的严格门槛；

2、持续的干货输出；

3、线上线下活动结合；

4、培养社群用户的身份认同感；

5、社群内部利益共赢。

七、盈利通道：微信群盈利模式

1、优惠模式：定时派发优惠；

2、微信群收费：收费必有价值；

3、会员缴费：聚焦解决用户痛点；

4、服务费模式：推广产品，收取佣金；

5、培训模式：推出高级课程收取续费；

6、微商模式：传授微商干货的用时卖产品。

八、营销阵地：打造“司令部式”的微信阵地

1、司令部：意见领袖引导互动营销；

2、精英连：群内精英大力推广；

3、朋友圈：个人微信号分享式营销；

4、公众号：开展有质感的公众号营销；

5、外援部：邀请大咖加盟实现广泛营销；

6、游击战：充分利用资源和方法。

九、实时维护：别让微信群变成僵尸群

1、没有维护的微信群就是没有商品的商店；

2、完善群规：为群员创造更大的价值；

3、定时清理：群成员审核要严格把关；

4、活跃有方：主动制造活跃话题；

5、组织活动：定期交流拉近关系；

6、红包轰炸：多发“红包”准没错。

十、汲取教训：总结教训，修正提升

1、没有焦点，缺乏长远定位；

2、错误的“去中心化”；

3、认为群成员越多越好；

4、灌水、垃圾、骚扰信息太多；

5、过度开发造成群“蒸发”；

6、推送信息的时间不规律。

社群营销有一下好处：

1、低成本高收益，操作简单。对于任何的企业而言，追求低成本投入，高收益的做法是很普遍的，也是很关键的。社群营销这种模式可以实现低成本投入,回报是比较高的，较传统销售方式更有优越性。该营销模式把购买与传播进行结合，拉动市场带给企业更多的福利。

2、让企业收益猛增，增加客户粘性。社群营销通过营造场景让更多客户了解到商品价值，结合社群平台沟通，让客户与商家相互了解甚至成为朋友。对于客户的需求，商家可以了如指掌，这样可以把商品做到客户心里，交易量自然上升很快。

3、轻松实现良性口碑传播，增加品牌美誉度。社群营销可以建立商家与客户沟通的桥梁，在销售过程中两者可以成为朋友，商品自然得到大家重视。在社群营销环境中，商家的商品很容易形成良好的口碑宣传。有了如此好的口碑，自然商家会得到更多的订单。

4、传播更高效，品牌优势容易建立。社群营销建立后，商家的商品活动可以得到群成员的口口相传，以群内现有人员去进行宣传，呈现出分列式推广，让企业得到更多的客户资源。其实这就是互联网环境下催生出的社群营销的价值所在。

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